Поліном Жегалкіна, також відомий як булевий поліном, є одним із основних інструментів в булевій алгебрі. Він дозволяє представити функцію у вигляді алгебраїчного виразу, що має велике значення в цифрових схемах, комп’ютерному програмуванні та інших галузях.
Процес знаходження полінома Жегалкіна може бути непростим, але знання певних кроків допоможе здійснити його з легкістю. Перший крок – отримати таблицю істинності для заданої булевої функції. Другий крок – переконатися, що кожен рядок таблиці істинності має потужність 2 (2^0, 2^1, 2^2, 2^3 і т.д.). Якщо це не так, тоді треба додати порожню колонку або дублювати рядки, щоб виконати це умову.
Для кожного рядка таблиці істинності, в якому функція має значення 1, потрібно створити член поліному. Якщо значення функції рівне 0, то замість нього ставиться член з протилежним знаком.
У наступних кроках треба використовувати логічні операції, такі як кон’юнкція (логічне “І”), диз’юнкція (логічне “АБО”), інверсія (логічне “НЕ”), а також можливіть групувати члени за допомогою дужок. Результатом всіх цих операцій буде пошук необхідного поліному Жегалкіна.
Що таке поліном Жегалкіна
Поліном Жегалкіна є важливим поняттям в алгебрі логіки, яке використовується для представлення булевих функцій. Це спеціальна форма запису булевих функцій, де кожне слідування відповідає коефіцієнту полінома.
Зазвичай поліном Жегалкіна записується у вигляді таблиці. Рядки таблиці відповідають унікальним комбінаціям входів, а стовпці – окремим коефіцієнтам полінома. Значення коефіцієнта можуть бути 0 або 1, залежно від того, чи присутній вход у відповідному слідуванні.
Example: Розглянемо булеву функцію f(x, y) = x∧y. Її поліном Жегалкіна має наступний вигляд:
| x | y | f(x, y) |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Це означає, що поліном Жегалкіна булевої функції f(x, y) = x∧y можна записати як f(x, y) = 0⊕x⊕y, де ⊕ позначає операцію XOR (виключне або).
Поліном Жегалкіна дозволяє ефективно представляти булеві функції і використовувати їх в різних алгоритмах і системах. Дана форма запису є зручною і простою для обчислень та аналізу булевих функцій.
Як визначити поліном Жегалкіна
Поліном Жегалкіна є універсальним способом представлення булевої функції і може бути використаний для розв’язання різних завдань, таких як оптимізація логічних схем, мінімізація булевих функцій тощо. Цей поліном виглядає як сума добутків змінних та їх зворотніх значень.
Для визначення полінома Жегалкіна потрібно мати таблицю істинності, яка показує значення функції для різних наборів вхідних змінних. Нехай ми маємо функцію з n вхідними змінними, тоді таблиця істинності має 2^n рядків, де кожному рядку відповідає набір значень вхідних змінних та вихідного значення функції.
Кроки для визначення полінома Жегалкіна:
- Запишіть набір значень вихідної функції для кожного набору вхідних змінних у таблиці істинності.
- Запишіть набір мономів, де кожний моном відповідає одному рядку таблиці істинності і має значення 1.
- Послідовно додайте мономи, які мають значення 1, до полінома Жегалкіна. Для цього замініть значення вхідних змінних у мономі на відповідні букви змінних для яких цей моном має значення 1, а змінні зі значенням 0 – на них самі зі зворотним знаком (‘).
Наприклад, для функції з двома вхідними змінними A і B:
- Створимо таблицю істинності:
- Запишемо набір мономів зі значенням 1: AB, AC, BC, ABC.
- Додамо мономи зі значенням 1 до полінома Жегалкіна: AB + AC + BC + ABC.
| A | B | f(A,B) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Таким чином, отримано поліном Жегалкіна, який представляє задану булеву функцію. Цей поліном можна подати у вигляді суми добутків змінних та їх зворотніх значень, де кожний доданок відповідає одному рядку таблиці істинності зі значенням 1.
Алгоритм пошуку полінома Жегалкіна
Для пошуку полінома Жегалкіна використовується спеціальний алгоритм, який дозволяє встановити його коефіцієнти. Нижче наведено пошагову інструкцію для знаходження полінома Жегалкіна.
- Створіть таблицю істинності для вашої булевої функції. У цій таблиці наведено всі можливі комбінації значень вхідних змінних і результати функції.
- Запишіть коефіцієнти Жегалкіна рядками починаючи з пустого рядка, але з результатами функції і використовуючи таблицю істинності як джерело.
- Для кожного коефіцієнта запишіть його значення, використовуючи такі правила:
- Якщо значення в таблиці істинності для даного коефіцієнта дорівнює 0, залиште його значенням 0.
- Якщо значення в таблиці істинності для даного коефіцієнта дорівнює 1, перевірте попередні значення його парних предків і запишіть його як їхню суму по модулю 2.
- Встановіть значення кінцевого полімома Жегалкіна як суму усіх рядків із коефіцієнтами.
Цей алгоритм може використовуватись для пошуку полінома Жегалкіна будь-якої булевої функції. Дотримуйтесь кроків і ви зможете знайти поліном Жегалкіна для вашої функції.