Квадратна матриця називається позитивно визначеною якщо він симетричний і всі його власні значення λ додатні, тобто λ > 0. Оскільки ці матриці є симетричними, теорема про головні осі відіграє центральну роль у теорії. Якщо A позитивно визначений, то він оборотний і det A > 0. Доведення.
Найефективніший спосіб перевірити, чи є матриця симетричною додатно визначеною, це спроба використати чол на матриці. Якщо факторізація не вдається, то матриця не є симетричною додатно визначеною. Створіть квадратну симетричну матрицю та скористайтеся блоком try/catch, щоб перевірити, чи вдається chol(A).
Матриця позитивно визначена якщо він симетричний і всі його точки опори додатні. де Ak — верхня ліва k x k підматриця. Усі точки опори будуть додатними тоді і тільки тоді, коли det(Ak) > 0 для всіх 1 k n.
Якщо det(A) = ac − b2 > 0, то ac > b2 ≥ 0, а a і c повинні мати однаковий знак. Таким чином, det(A) > 0 і tr(A) > 0 еквівалентно умові, що det(A) > 0 і a > 0. Тому необхідною і достатньою умовою для квадратичної форми симетричної матриці 2 × 2 є бути позитивним певним для det(A) > 0 і a > 0.
Матриця M є позитивно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє будь-яку з наступних еквівалентних умов.
- конгруентна діагональній матриці з позитивними дійсними елементами.
- є симетричним або ермітовим, і всі його власні значення є дійсними та позитивними.
- є симетричним або ермітовим, і всі його старші головні мінори позитивні.
Симетрична матриця A є додатно визначеною, якщо всі діагональні елементи додатні, кожен діагональний елемент більший або дорівнює сумі абсолютних значень усіх інших елементів у відповідному рядку/стовпці, і існує один діагональний запис, який є строго більше суми абсолютних значень …