Маючи матрицю обертання R, ми можемо обчислити кути Ейлера ψ, θ і φ за допомогою прирівнювання кожного елемента в R до відповідного елемента в матричному добутку Rz(φ)Ry(θ)Rx(ψ). Це призводить до дев’яти рівнянь, які можна використовувати для знаходження кутів Ейлера. Починаючи з R31, знаходимо R31 = − sin θ.
У геометрії теорема Ейлера про обертання стверджує, що в тривимірному просторі будь-яке зміщення твердого тіла, при якому точка на твердому тілі залишається нерухомою, еквівалентно одному обертанню навколо деякої осі, яка проходить через нерухому точку. Це також означає, що композиція двох обертань також є обертанням.
Повороти та кути Ейлера
- Поверніть xyz проти годинникової стрілки навколо осі z на α, щоб отримати x'y'z'.
- Поверніть x'y'z' проти годинникової стрілки навколо осі y' на β, щоб отримати x''y''z''.
- Поверніть x''y''z'' проти годинникової стрілки навколо осі z'' на γ, щоб отримати кінцевий ABC.
Ось правила чергування:
- Поворот на 90° за годинниковою стрілкою: (x,y) стає (y,−x)
- Обертання на 90° проти годинникової стрілки: (x,y) стає (−y,x)
- Обертання на 180° за і проти годинникової стрілки: (x,y) стає (−x,−y)
- Обертання за годинниковою стрілкою на 270°: (x,y) стає (−y,x)
- Обертання проти годинникової стрілки на 270°: (x,y) стає (y,−x)
Якщо я поверну площину XY навколо осі y на кут ψ, а потім власне повернути її навколо осі x нової площини на кут φ, вісь, утворена перетином початкової площини XY та кінцевої площини, буде Вісь/кут Ейлера.
Отже. Оскільки цих чисел 4, ми знаємо, що вогонь тут дорівнює 4. Отже, Ейлер тепер каже нам, що якщо ми візьмемо будь-яке з чисел a дорівнює 1, 3, 7 або 9, підніміть його до степеня.